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43. h. C T Cx0 = C T s. 5: L¨osung im Unterraum. Nach linearer Algebra gilt die Zerlegung IRm = Bild(C)⊕Kern(C T ). h. x0 ist eine L¨osung des linearen Ausgleichsproblems. 2 65 Numerische L¨ osung Von nun an sei rang (C) = n < m: Die Matrix C T C ist dann positiv definit, und die Normalgleichung C T Cx = C T s kann im Prinzip mit dem Cholesky–Verfahren gel¨ost werden. Dieses Verfahren hat jedoch zwei Nachteile: (1) C T C ist schwierig auszurechnen, z. :   1 1   C =  ε 0 , CT C = 1 + ε2 1 1 1 + ε2 0 ε Mit ε = 1√ eps 2 .

2 Frobeniusmatrizen uhrung der Gauß-Elimination werden sogenannte Frobeniusmatrizen Zur Durchf¨ bzw. Elementarmatrizen Lj ben¨otigt:   1   ..   .   0     .   ..       ← j-te Zeile 1 Lj =     .   −lj+1,j .     ..   ..  0  .   −ln,j 1 ↑ j-te Spalte F¨ ur diese Elementarmatrizen gelten die nachfolgend aufgef¨ uhrten Rechenregeln. Sei hierzu die Matrix   a1  .   A=  ..  mit ai = (ai1 , . . , ain ). an LR–Zerlegung und Gauß–Elimination 33 gegeben. F¨ ur die Multiplikation einer Elementarmatrix mit einer Matrix gilt:   a1   ..

2 Skalierung Die Kondition eines Problems kann ggf. durch Skalierung der Matrix A verbessert ¨ werden. Unter Skalierung versteht man den Ubergang  A → DA,  D=  d1 0 .. h. die i-te Zeile von A wird mit di multipliziert. 35 (Van der Sluis). F¨ ur A = (aik ) sei n |aik | = 1, i = 1, . . , n (insbesondere ||A||∞ = 1). k=1 Dann gilt f¨ ur jede Diagonalmatrix D mit det D = 0 cond∞ (DA) ≥ cond∞ (A). 36. F¨ ur eine beliebige regul¨are Matrix A = (aik ) ist mit der Skalierung −1 n D = diag(di ), di := |aik | k=1 die Kondition cond∞ (DA) m¨oglichst klein.

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