By Ravi S. Kulkarni (auth.), Ravi S. Kulkarni, Ulrich Pinkall (eds.)

ISBN-10: 3322906167

ISBN-13: 9783322906168

ISBN-10: 3528089822

ISBN-13: 9783528089825

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As is well known, V = EEl V; where V; are 1 - or 2-dimensional g-invariant irreducible subspaces. If dim V; = 1 then g Iv; acts as [1] or [-1]. We then assign to g Iv; the rotation angle 0 or 7r respectively. If dim V; = 2 then g Iv; is a rotation through an angle B,O < B < 27r, B "# 7r. We then assign the rotation angle B to g Iv;. It is well-known that Proposition The rotation angles form a complete set of invariants of a conjugacy class in O(V). 2) Now consider the group E(n) of Euclidean motions of En.

Sn is compact there c So g, g' define the same Cauchy sequences. d. M depends only on (j. 1) is called the ideal boundary of (M, (j). 4) Proposition Let (M, (j) be developable Mobius manifold and 8 : M a development. Then 8 extends to b : M --+ sn. sn --+ Proof Let go be a standard Riemannian metric on sn and g = 8* go. Let Po E ooM and {Pn}, n = 1,2 ... a Cauchy sequence in M so that limn Pn = Po. There exist rectifiable arcs in M joining Pn to Pn+1 and of length arbitrarily close to the distance between Pn and Pn+l.

T. , the distance function) defined by g. Proposition and 8. M (as a topological space) does not depend on the choices of go Proof: Let g~, and 8' be other choices and g' = 8'* g~. Since exists a constant c s. t. 1 - g ::; g' ::; c g. sn is compact there c So g, g' define the same Cauchy sequences. d. M depends only on (j. 1) is called the ideal boundary of (M, (j). 4) Proposition Let (M, (j) be developable Mobius manifold and 8 : M a development. Then 8 extends to b : M --+ sn. sn --+ Proof Let go be a standard Riemannian metric on sn and g = 8* go.

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Conformal Geometry: A Publication of the Max-Planck-Institut für Mathematik, Bonn by Ravi S. Kulkarni (auth.), Ravi S. Kulkarni, Ulrich Pinkall (eds.)


by Daniel
4.1

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