By Soardi P. M.

ISBN-10: 8825173598

ISBN-13: 9788825173598

Nel quantity vengono trattati in modo rigoroso gli argomenti che fanno parte tradizionalmente dei corsi di Analisi matematica I: numeri reali, numeri complessi, limiti, continuità, calcolo differenziale in una variabile e calcolo integrale secondo Riemann in una variabile. Le nozioni di limite e continuità sono ambientate negli spazi metrici, di cui viene presentata una trattazione elementare ma precisa. I concetti astratti sono ogni volta interpretati e discussi nel caso di funzioni reali di variabile reale. Tutti i risultati enunciati nel libro vengono dimostrati, o nel corso dell'esposizione, o nelle appendici dei vari capitoli. Tuttavia, questo libro non vuole essere un'opera puramente teorica. Vengono trattati argomenti che spesso sono demandati alle esercitazioni: il calcolo dei limiti consistent with funzioni a valori reali o vettoriali, il calcolo delle derivate, i modi più comuni di integrazione. Tutti gli argomenti esposti sono corredati da numerosi esempi e determine.

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Sia f : (−1, 1) → R definita da f (x) = x . 1 − |x| Evidentemente, f (0) = 0, f (x) > 0 se 0 < x < 1 e f (x) < 0 se −1 < x < 0. Sia y ∈ R fissato. L’equazione x y= 1 − |x| ammette in (−1, 1) l’unica soluzione x= y 1+y se y > 0, x= y 1−y se y < 0. Quindi, per ogni y ∈ R esiste uno e un solo x ∈ (−1, 1) tale che f (x) = y, cio`e f `e biunivoca. ` chiaro che, con ragionamento analogo, si dimostra che ogni intervallo (a, b) E ha la potenza del continuo. 3 (di Cantor) R ha potenza maggiore di N. Dimostrazione.

Supponiamo la successione non decrescente e limitata superiormente. Allora, la parte intera assumer`a per un certo indice n0 il suo massimo valore, sia esso d0 . Per i valori di n successivi a n0 si avr`a sempre cn0 = d0 , poich´e γn `e non decrescente. Esister`a n1 , che possiamo supporre maggiore di n0 , tale che la prima cifra decimale assumer`a il suo valore massimo, sia esso d1 . Cos`ı proseguendo, al passo k esister`a nk > nk−1 > . . > n0 tale che la k-esima cifra decimale assumer`a il suo valore massimo, sia esso dk .

4) Costruiamo ora un numero reale x ∈ (0, 1) che non coincide con nessuno degli xn . Definiamo la prima cifra decimale c1 in modo che c1 = c11 , c1 = 0, c1 = 9. Definiamo c2 in modo tale che c2 = c22 , c2 = 9. 42 2. Funzioni Definiamo c3 in modo che c3 = c33 , c3 = 9. Al passo n definiamo cn in modo che cn = cnn , cn = 9. Ad esempio, possiamo scegliere cn = 2 se cnn = 1, e cn = 1 se cnn = 1. Il numero x = 0, c1 c2 c3 . . cn . . `e positivo poich´e c1 = 0, ed `e minore di 1 perch´e la sua parte intera `e 0.

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by Jason
4.3

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