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17) Letzteres unter Nutzung der Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen. Der Betrag des Produktes zweier komplexer Zahlen ist gleich dem Produkt 42 Kapitel 1: Grundlagen Im z Im z -2+i r= 5 0 φ = 1 5 3,4 4 ° φ=− 45° 1 Re z 1 r= 2 -2 Re z 1-i Abb. 28. z = −2 + i Abb. 29. z = 1 − i der Beträge der Faktoren. Das Argument des Produktes ist gleich der Summe der Argumente der Faktoren. Im z zw φ+ψ z=3+i w=i ψ 0 φ 1 Re z Abb. 30. Multiplikation komplexer Zahlen in Polarkoordinaten Beispiel: z w zw √ = 3 + i = 10[cos(18,43o ) + i sin(18,43o )] = i = 1 · [cos(90o ) + i sin(90o )] √ 10[cos(108,43o ) + i sin(108,43o )] = (Abb.

Und z2 = z5 = . . gilt, so dass wir tatsächlich nur drei Lösungen z0 , z1 und z2 der Gleichung erhalten. In der GAUSSschen Zahlenebene liegen z0 , z1 , z2 auf einem Kreis mit dem Radius √ 1 12 6 = 6 12. Die Positionen von z0 , z1 , z2 auf dem Kreis markieren ein regelmäßiges Dreieck (siehe auch Abb. 31). Wenn wir die Überlegungen zum eben betrachteten Beispiel unter Nutzung der Potenzgesetze verallgemeinern, kommen wir zum folgenden Satz. Im z z0 z1 5_π 18 6 12 Re z z2 Abb. 31. 3. h. es gilt die DE MOIVREsche Formel (cos φ + i sin φ)n = cos(nφ) + i sin(nφ) .

51 p(2) (2) 2! = 42 p(3) (2) 3! = 15 p(4) (2) 4! =2 + 2∗ 2 =: c4 ⇒ Mit den Koeffizienten c0 , c1 , c2 , c3 , c4 können wir das Polynom nach Potenzen von x − 2 umordnen und erhalten p(x) = 2x4 − x3 − x − 18 = 2(x − 2)4 + 15(x − 2)3 + 42(x − 2)2 + 51(x − 2) + 4. 8 Aufgaben 1) Beweisen Sie die folgende Verallgemeinerung der BERNOULLIschen Ungleichung: (1 + a1 )(1 + a2 ) · · · · · (1 + an ) > 1 + (a1 + a2 + · · · + an ) , für ak > 0 und n ≥ 2. 2) Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass die folgende Verallgemeinerung der BERNOULLIschen Ungleichung gilt: Für 0 < ak < 1 und n ≥ 2 ist (1 − a1 )(1 − a2 ) · · · · · (1 − an ) > 1 − (a1 + a2 + · · · + an ) .

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