By Camille Marbo (Marguerite Appell-Borel)

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Si la fonction f = u + i v est holomorphe, la double différentiabilité de f et les équations de Cauchy–Riemann impliquent que les fonctions u et v vérifient Δu = Δv = 0, où Δ := ∂∂x 2 + ∂∂y 2 est le laplacien associé à la coordonnée complexe z . On dit dans ce cas que u et v sont harmoniques. Les parties réelle et imaginaire d’une fonction holomorphe sont harmoniques. Réciproquement, si l’ouvert U ⊂ C est simplement connexe et u est harmonique sur U , il existe une fonction holomorphe f u : U → C, défi­ nie à une constante imaginaire pure près, telle que u = Re(f u ).

La transforma­ tion ψ ainsi définie envoie courbes isotropes de V sur droites isotropes de J2 et donc directions isotropes de la métrique lorentzienne g sur V sur directions isotropes de la métrique lorentzienne standard de J2 . Remarquons – c’est un point important – que deux formes quadratiques de signature (+, −) sur un espace vectoriel réel de dimension 2 sont proportionnelles si et seulement si elles ont les mêmes directions isotropes. On peut donc écrire ψ∗ g = m (x , y )(d x 2 − d y 2 ) où m est une fonc­ tion qui ne s’annule pas.

En 1882, Klein et Poincaré tiennent pour acquis le théorème d’unifor­ misation suivant : Théorème. — Soit X une surface de Riemann compacte de genre g � 2. Il existe un sous-groupe discret Γ de PSL(2, J) agissant librement et propre­ ment sur W tel que X soit isomorphe au quotient W/Γ. Autrement dit, le revêtement universel de X est holomorphiquement isomorphe à W. En résumé, Klein et Poincaré sont maintenant capables de résoudre l’un des principaux problèmes légués par les fondateurs de la géomé­ trie algébrique : paramétrer une courbe algébrique F (x , y ) = 0 (de genre au moins 2) par des fonctions uniformes méromorphes x , y : W → C.

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A travers deux siècles - Souvenirs et rencontres (1883-1967) by Camille Marbo (Marguerite Appell-Borel)


by Kenneth
4.3

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